8.7 Fononi e Fotoni
Vibrazioni della rete cristallina e radiazione elettromagnetica quantizzata
In questo capitolo appliciamo la statistica di Bose-Einstein a due sistemi fisici fondamentali: i fononi (quanti di vibrazione della rete cristallina) e i fotoni(quanti di radiazione elettromagnetica). Entrambi sono bosoni con , poiché il numero di questi quanti non è conservato.
8.7.1 Fononi e Modello di Einstein
Fononi
I fononi sono quanti di vibrazione della rete cristallina. In un solido con atomi, ci sono modi normali di vibrazione (3 direzioni per atomo). Ogni modo può essere trattato come un oscillatore armonico quantistico con energia:
Modello di Einstein (1907)
Albert Einstein propose il primo modello quantistico del calore specifico dei solidi. L'ipotesi di Einstein è che tutti i modi normali vibrono alla stessa frequenza .
Ipotesi di Einstein
- Tutti gli atomi vibrono indipendentemente alla stessa frequenza
- Ogni modo è un oscillatore quantistico con energia
- Il numero di fononi non è conservato, quindi
Funzione di partzione di un oscillatore
Per un singolo oscillatore armonico quantistico, la funzione di partizione canonico è:
Per oscillatori indipendenti:
Energia interna
L'energia media per oscillatore è:
L'energia totale del sistema è quindi:
Calore specifico di Einstein
Il calore specifico a volume costante si ottiene derivando l'energia:
dove è la temperatura di Einstein.
Limiti del modello di Einstein
Alte temperature (T ≫ ΘE)
Quando , possiamo espandere :
Questa è la legge di Dulong-Petit, in accordo con i risultati sperimentali classici.
Basse temperature (T ≪ ΘE)
Quando :
Il decadimento esponenziale non è in accordo con i dati sperimentali, che mostrano un andamento come .
Nota
8.7.2 Modello di Debye (1912)
Peter Debye migliorò il modello di Einstein considerando che gli atomi non vibrono indipendentemente, ma invece ci sono onde collettive (onde sonore) che si propagano nel solido. A basse frequenze, queste onde sono onde acustiche con dispersione lineare:
dove è la velocità del suono nel solido.
Densità degli stati di Debye
Per onde elastiche in un volume , il numero di modi con frequenza minore di è:
Nota
1. Ci sono 3 polarizzazioni (1 longitudinale, 2 trasversali), quindi il numero di modi è moltiplicato per 3
2. Esiste una frequenza di cutoff tale che il numero totale di modi sia
Definendo la velocità del suono efficace tramite:
La densità degli stati diventa:
La frequenza di cutoff è determinata dalla condizione:
Energia interna nel modello di Debye
L'energia totale è la somma dei contributi di tutti i modi, dove ogni modo è un oscillatore con energia media:
(l'energia dello zero-point non contribuisce al ).
Temperatura di Debye
Basse temperature (T ≪ ΘD)
A basse temperature, possiamo estendere l'integrale a (l'integrando decade esponenzialmente per ):
L'integrale si valuta con la sostituzione :
L'integrale ha valore .
Energia interna a basse temperature
Legge T³ del calore specifico
Il calore specifico a volume costante è:
In termini della temperatura di Debye:
Nota
Alte temperature (T ≫ ΘD)
Ad alte temperature, :
Quindi , la legge di Dulong-Petit.
Calcolo di Θ<sub>D</sub> per il rame
Per il rame: , densità , massa molare .
Il valore sperimentale è , in ottimo accordo.
8.7.3 Radiazione di Corpo Nero
La radiazione elettromagnetica in equilibrio termico con le pareti di una cavità si comporta come un gas di fotoni. I fotoni sono bosoni di massa nulla con (il numero non è conservato).
Fotoni
- Bosoni di spin 1 (massimi due stati di polarizzazione, non tre come per i fononi)
- Dispersione lineare: (c = velocità della luce)
- Potenziale chimico nullo:
- Numero non conservato: i fotoni possono essere creati e distrutti dalle pareti
Densità degli stati dei fotoni
Per fotoni in un volume , contando le due polarizzazioni:
Nota: a differenza dei fononi, non c'è cutoff di frequenza per i fotoni.
Energia della radiazione
L'energia totale della radiazione nella cavità è:
Con la sostituzione :
Legge di Stefan-Boltzmann
La densità di energia della radiazione di corpo nero è:
dove la costante di radiazione è:
La densità di flusso di energia (intensità) da una superficie è:
Distribuzione spettrale di Planck
La densità di energia per unità di frequenza è:
In termini di lunghezza d'onda :
Legge dello spostamento di Wien
Il massimo della distribuzione si ottiene derivando:
Risolvendo numericamente:
Questa è la legge di Wien: all'aumentare della temperatura, il picco si sposta verso lunghezze d'onda minori (blu).
Limiti della formula di Planck
Alte frequenze (hω ≫ kBT)
In questo regime :
Questa è la legge di Wien (non confondere con la legge dello spostamento di Wien), che descrive correttamente il "crollo" ultravioletto.
Basse frequenze (hω ≪ kBT)
In questo regime :
Questa è la legge di Rayleigh-Jeans, che era stata derivata dalla fisica classica ma porta alla catastrofe ultravioletta (diverge per ω → ∞).
Pressione di radiazione
Dalla termodinamica, la pressione della radiazione è:
Per un gas di fotoni, l'energia libera è (poiché e per radiazione).
Pressione di radiazione
La pressione della luce del Sole sulla Terra è circa Pa (molto piccola!).
Temperatura della radiazione cosmica di fondo
La radiazione cosmica di fondo (CMB) è una radiazione di corpo nero con temperatura . La densità di energia è:
Corrisponde a circa o circa.
Riepilogo: Fononi vs Fotoni
| Proprietà | Fononi | Fotoni |
|---|---|---|
| Dispersione | (acustica) | (elettromagnetica) |
| Polarizzazioni | 3 (1L + 2T) | 2 (trasverse) |
| Cutoff | (Debye) | Nessuno |
| (basse T) | ||
| Densità energia | ||
| Applicazioni | Calore specifico solidi | Corpo nero, CMB |