3.6 Teorema di Equipartizione
Energia media per grado di libertà
Enunciato
Teorema di Equipartizione
Per un sistema classico all'equilibrio termico, ogni grado di libertà che apparequadraticamente nell'Hamiltoniana contribuisce con energia media:
Dimostrazione
Consideriamo un termine quadratico nell'Hamiltoniana, dove può essere una coordinata o un momento.
L'energia media associata:
Con :
L'integrale gaussiano dà:
Quindi:
Applicazioni
Gas Ideale Monoatomico
3 gradi di libertà traslazionali per particella:
Gas Ideale Biatomico (Alta Temperatura)
- 3 traslazionali
- 2 rotazionali
- 2 vibrazionali (cinetico + potenziale)
Temperature intermedie
Oscillatore Armonico
Per un oscillatore armonico classico:
Due termini quadratici →
Solido Cristallino (Modello di Einstein)
atomi, ognuno con 3 oscillatori armonici:
Legge di Dulong-Petit
Il calore specifico molare di un solido:
Questa legge è verificata sperimentalmente per molti solidi a temperatura ambiente.
Limiti del Teorema
Fallimento a basse temperature
Il teorema di equipartizione è un risultato classico. A basse temperature, gli effetti quantistici diventano importanti e il teorema non è più valido:
- I calori specifici tendono a zero per (terzo principio)
- La meccanica quantistica richiede per eccitare un oscillatore