0.4 Distribuzione di Poisson
Processi di decadimento, approssimazione di Stirling e limite gaussiano
In molte situazioni fisiche, c'è un grande numero di eventi possibili ciascuno con probabilità molto piccola per un dato intervallo di tempo. Le probabilità in situazioni come questa, dove ogni evento è scorrelatocon l'evento precedente, sono descritte dalla distribuzione di Poisson.
Decadimento radioattivo
Prendiamo un esempio concreto: il decadimento radioattivo. Un blocco di ha atomi ciascuno dei quali può decadere con probabilità:
è chiamato tasso di decadimento. Per un singolo atomo di , questo tasso è. In una mole di Uranio, atomi decadono ogni secondo. Qual è la probabilità di osservare decadimenti in un tempo ?
Caso m = 0
Per tempo molto piccolo , la probabilità di non decadere è:
Arrivando fino al tempo cucendo insieme tempi piccoli e prendendo :
Tempo di dimezzamento
Il tempo di dimezzamento è quando la probabilità di nessun decadimento è :
Caso generale
Distribuzione di Poisson
Per generale, il risultato è la distribuzione di Poisson:
Questa dà la probabilità di esattamente eventi in tempo .
Proprietà della distribuzione di Poisson
Media e deviazione standard
La larghezza relativa va a zero per .
Limite gaussiano
Per grande , usando l'approssimazione di Stirling:
si ottiene il limite gaussiano:
Questa è una gaussiana con media e larghezza .
Nota