0.5 Funzione Generatrice dei Momenti
Cumulanti, funzione caratteristica e applicazioni alla distribuzione gaussiana
La funzione generatrice dei momenti (o funzione caratteristica) è uno strumento potente per analizzare distribuzioni di probabilità. In meccanica statistica, è particolarmente utile perché i logaritmi delle funzioni di partizione sono strettamente correlati alle funzioni generatrici.
Definizione
Funzione generatrice dei momenti
Data una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità, la funzione generatrice dei momenti(MGF, Moment Generating Function) è definita come:
Per variabili discrete:
Funzione caratteristica
La funzione caratteristica è definita usando la trasformata di Fourier:
È semplicemente la funzione generatrice valutata in . La funzione caratteristica esiste sempre per tutte le distribuzioni, mentre la MGF potrebbe non esistere per alcune distribuzioni (es. distribuzione di Cauchy).
Momenti dalla funzione generatrice
Derivazione dei momenti
Espandendo la funzione generatrice in serie di Taylor:
Quindi l'-esimo momento si ottiene derivando volte e valutando in :
Cumulanti
I cumulanti sono definiti tramite lo sviluppo del logaritmo della funzione generatrice:
I primi cumulanti
I primi cumulanti in termini dei momenti:
| Cumulante | Espressione | Significato |
|---|---|---|
| Media | ||
| Varianza | ||
| Asimmetria (skewness) normalizzata | ||
| Curtosi (kurtosis) normalizzata |
Nota
Distribuzione Gaussiana
Per la distribuzione gaussiana, la funzione generatrice dei momenti è particolarmente semplice.
MGF della distribuzione gaussiana
Per :
La funzione generatrice è:
Completando il quadrato (vedi esempio dettagliato sotto), si ottiene:
Cumulanti della distribuzione gaussiana
Prendendo il logaritmo della MGF gaussiana:
Quindi i cumulanti della distribuzione gaussiana sono:
Tutti i cumulanti oltre il secondo sono nulli per una distribuzione gaussiana! Questa è una caratterizzazione unica della distribuzione gaussiana.
Derivazione completa della MGF gaussiana
Completiamo il quadrato nell'esponente:
Completiamo il quadrato rispetto a :
L'integrale diventa:
L'integrale è 1 (è una distribuzione gaussiana normalizzata), quindi:
Teorema del limite centrale e cumulanti
Il teorema del limite centrale ha una formulazione elegante in termini di cumulanti.
TLC in termini di cumulanti
Se sono variabili iid con media e varianza , allora per la somma normalizzata :
Questo significa che , , e per — esattamente i cumulanti di una distribuzione gaussiana standard.
Altre distribuzioni importanti
Distribuzione esponenziale
Per con :
Espandendo per :
Quindi i cumulanti sono .
Distribuzione di Poisson
Per :
I cumulanti della distribuzione di Poisson sono tutti uguali:
Connessione con la Meccanica Statistica
In meccanica statistica, le funzioni di partizione sono essenzialmente funzioni generatrici.
Ensemble canonico
La funzione di partizione canonica è la funzione generatrice dell'energia:
Quindi è il primo cumulante dell'energia, e è il secondo cumulante (varianza).
Ensemble gran canonico
La funzione di gran partizione genera i cumulanti del numero di particelle: