0.1 Probabilità di Base

Distribuzioni di probabilità, media, varianza e convoluzione

In meccanica statistica affrontiamo sistemi con un numero enorme di gradi di libertà, tipicamente dell'ordine del numero di Avogadro . Questo è il numero di atomi di idrogeno in un grammo, o più intuitivamente, il numero di molecole d'acqua in un cucchiaio. Anche una minuscola cellula, con diametro di soli 100 micron ( m), contiene un trilione di molecole.

In molti campi della fisica lavoriamo con numeri piccoli (come la costante di struttura fine ) e calcoliamo le cose come serie di Taylor. In meccanica statistica, invece, lavoriamo con un numero grande e calcoliamo le cose come espansione in , spesso mantenendo solo il termine dominante ().

La chiave per farlo non è chiederci cosa fa ogni particella(che sarebbe sia impossibile che impraticabile), ma piuttosto chiederciqual è la probabilità che una particella faccia qualcosa.

Distribuzione di Probabilità

Siamo interessati alle probabilità degli stati di un sistema, che scriviamo come o . Il parametro rappresenta il microstato — ad esempio le posizioni e i momenti di tutte le particelle in un gas, o il modulo quadro della funzione d'onda in meccanica quantistica.

A volte pensiamo come un indice discreto (es. lancio di una moneta: ,) e a volte come continuo. Nel caso continuo, chiamiamo ladensità di probabilità, così che è la probabilità di trovare tra e . Le densità di probabilità diventano probabilità solo quando integrate.

Distribuzioni fondamentali

Conosceremo diverse distribuzioni di probabilità:

(Gaussiana)
(Poisson)
(Binomiale)
(Lorentziana)
(Uniforme (piatta))

Normalizzazione

Le distribuzioni di probabilità sono sempre normalizzate in modo che integrino/sommino a 1:

Valori attesi e momenti

Data una distribuzione di probabilità, possiamo calcolare il valore attesodi qualsiasi osservabile integrando/sommando contro la probabilità.

Media (valore atteso)

Il valore atteso di (la media) è:

Media quadratica

Varianza

La varianza di una distribuzione è la differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media:

Deviazione standard

La radice quadrata della varianza è la deviazione standard:

Nota

Mentre la media ha l'interpretazione intuitiva di risultato atteso, la varianza è più sottile. Sviluppare l'intuizione per la varianza è fondamentale per padroneggiare la statistica. Il punto chiave è che il valore atteso è inutile se non sai quanto è probabile quel valore.

Esempio: Distribuzione gaussiana

Una gaussiana ha due parametri, e . Il primo parametro è la media:

La media di è:

Quindi la deviazione standard è . Questo è il motivo per cui solitamente scriviamo invece di per il parametro della gaussiana.

Interpretazione della deviazione standard

La deviazione standard ha l'interpretazione come larghezza di una distribuzione — quanto possiamo allontanarci dalla media prima che la probabilità diminuisca sostanzialmente. Per esempio, in una gaussiana, la probabilità di trovare tra e è:
Quindi, per una gaussiana, c'è il 68% di probabilità che i valori di cadano entro 1 deviazione standard dalla media.

Convoluzione

Un altro concetto importante è come si comportano le distribuzioni di probabilità quando vengono combinate. Per esempio, se e sono le probabilità di vincere dollari scommettendo sul cavallo e dollari scommettendo sul cavallo , la probabilità di ottenere dollari totali è:

(Convoluzione)

Questa è la definizione dell'operazione matematica di convoluzione tra due funzioni. Diciamo che è la convoluzione di e e la scriviamo come:

Nota

Le convoluzioni sono estremamente importanti in meccanica statistica, poiché spesso misuriamo solo la somma di molti processi indipendenti. Per esempio, la pressione su una parete di un contenitore è dovuta alla somma delle forze di tutte le molecole che la colpiscono, ciascuna con la sua probabilità.

Molecola in una scatola 1D

Consideriamo una molecola di gas che rimbalza in una scatola 1D di dimensione centrata su . Se non ci sono forze esterne e interazioni dipendenti dalla posizione, la molecola è ugualmente probabile essere ovunque nella scatola:

Il valore medio della posizione della molecola è per simmetria. Il valore medio di è:

Quindi la deviazione standard è . Nota che la probabilità di trovare entro è. Non è il 68% perché la distribuzione non è gaussiana. Questo illustra che l'interpretazione di come intervallo di confidenza al 68% non è sempre accurata.

Fonte: Matthew Schwartz, Statistical Mechanics, Spring 2021 - Lecture 1: Probability, 1-10