0.2 Legge dei Grandi Numeri
Convergenza delle medie e scaling delle fluttuazioni
Un risultato estremamente importante della probabilità è che anche se è molto complicata, quando facciamo la media su molte misurazioni, il risultato si semplifica drasticamente. Più precisamente, la legge dei grandi numeri afferma che:
La media dei risultati da un insieme di prove indipendenti varia sempre meno quante più prove vengono effettuate.
Legge dei Grandi Numeri (formalmente)
Se ha deviazione standard , allora la probabilità di trovare che la media su estrazioni da sia avrà deviazione standard .
Quindi per , la deviazione standard della media .
Derivazione
Per derivare la legge dei grandi numeri, consideriamo la distribuzione di probabilità per il centro di massa delle molecole in una scatola. Supponiamo ci siano molecole nella scatola e la funzione di probabilità di trovare ciascuna sia . Assumiamo che le probabilità per ciascuna molecola siano indipendenti.
Scriviamo , e per le quantità che coinvolgono il sistema di corpi.
Caso N = 2
Per , il centro di massa è , quindi il valore medio del centro di massa è:
Quindi il valore medio per 2 molecole è lo stesso che per 1 molecola. L'aspettativa di con 2 molecole è:
Quindi la deviazione standard del centro di massa per 2 particelle è:
Nota
Caso generale N
Per particelle, il valore medio del centro di massa è:
indipendente da . Il valore atteso di è:
Quindi:
Significato fisico
L'apparizione di è chiamata legge dei grandi numeri. L'equazione descrive come la deviazione standard scala quando facciamo la media su molte molecole, e vale per qualsiasi funzione .
Gas in una scatola
Per il gas nella scatola con distribuzione uniforme , il valore atteso del centro di massa è , e la deviazione standard è:
Quindi, anche se non sappiamo molto bene dove sono le singole molecole, conosciamo il centro di massa con precisione straordinaria!
Perché la meccanica statistica funziona
La legge dei grandi numeri è il motivo per cui la meccanica statistica è possibile: possiamo calcolare proprietà macroscopiche dei sistemi con grande fiducia anche se non sappiamo esattamente cosa sta succedendo a livello microscopico.