Densità degli Stati G(ε) e Integrali per N, E, P
Dal conteggio discreto dei modi all'integrale continuo in energia
Contesto e Motivazione
Per un gas quantistico, le grandezze termodinamiche si esprimono come somme sui singoli stati di particella: ,, ecc. Per un sistema macroscopico i livelli energetici sono fittissimi e la somma diventa un integrale. La densità degli stati è la funzione che traduce la somma discreta in un integrale continuo.
Definizione
Definiamo prima il volume integrato nello spazio delle fasi di singola particella:
che conta il numero di stati di singola particella con energia minore di . La densità degli stati è la sua derivata:
Densità degli Stati a Una Particella
è il numero di stati di singola particella con energia nell'intervallo .
Passaggio Somma → Integrale
La regola fondamentale è:
Sostituzione Discreta → Continua
Questa sostituzione è valida nel limite termodinamico, quando la spaziatura tra livelli è molto più piccola di .
Calcolo per Particella Libera 3D
Per una particella libera in un volume , l'energia dipende solo dall'impulso: . Il volume integrato è:
L'integrale seleziona una sfera di raggio nello spazio degli impulsi. Derivando:
Densità degli Stati 3D (Particella Libera)
La dipendenza è caratteristica delle tre dimensioni ed è alla base di molti risultati della statistica quantistica.
Spin
Se la particella ha spin , c'è un fattore di degenerazione :
Per elettroni (): .
Integrali per le Grandezze Termodinamiche
Con la densità degli stati e il numero di occupazione , tutte le grandezze macroscopiche si scrivono come integrali:
Grandezze Macroscopiche
Numero di particelle:
Energia interna:
Pressione (dal gran potenziale):
Segno superiore per fermioni, inferiore per bosoni.
Per il gas di particelle libere 3D con , questi integrali si esprimono in termini di funzioni speciali (polilogaritmi o funzioni di Fermi). Ma il punto concettuale è che tutta la termodinamica del gas quantistico è codificata in due ingredienti: la densità degli stati (geometria) e il numero di occupazione (statistica).
Riepilogo
Punti Chiave
- Particella libera 3D:
- sono tutti integrali di