Numero Medio di Occupazione e Comportamento con T
Analisi qualitativa di n(ε) per fermioni, bosoni e limite classico
Contesto
Le distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein danno il numero medio di particelle nello stato di singola particella con energia . Il comportamento di al variare della temperatura rivela la fisica fondamentale dei gas quantistici: il "congelamento" dei fermioni, l'accumulo dei bosoni, e il recupero del limite classico ad alte temperature.
Le Due Distribuzioni
Fermi-Dirac
Valori possibili: (principio di esclusione di Pauli).
Bose-Einstein
Vincolo: (energia dello stato fondamentale), altrimenti il numero di occupazione diventerebbe negativo.
Comportamento a T → 0
Fermioni: per (), la distribuzione diventa una funzione gradino:
Fermioni a T = 0
Tutti gli stati sotto l'energia di Fermi sono completamente occupati, tutti quelli sopra sono vuoti. È il "mare di Fermi".
Bosoni: per , i bosoni si accumulano nello stato fondamentale. Quando , l'occupazione dello stato fondamentale diverge macroscopicamente: è la condensazione di Bose-Einstein.
Temperature Finite
Fermioni: a il gradino si "arrotonda" in una regione di larghezza attorno a . Solo gli stati entro dal livello di Fermi cambiano occupazione: sono questi che contribuiscono al calore specifico lineare .
Bosoni: al diminuire di , il potenziale chimico sale verso e l'occupazione degli stati bassi cresce. Sotto una frazione macroscopica collassa nel fondamentale.
Limite Classico: z ≪ 1
Il limite classico si ottiene quando la fugacità , cioè quando l'occupazione media di ogni stato è molto piccola. In questo regime:
Limite di Maxwell-Boltzmann
Entrambe le distribuzioni convergono alla stessa forma esponenziale. Il segno ±1 al denominatore diventa trascurabile rispetto al termine dominante .
Il criterio per il regime classico è , dove è la lunghezza d'onda termica e la densità. Fisicamente, le particelle sono abbastanza distanti tra loro che i pacchetti d'onda non si sovrappongono.
Schema Riassuntivo
Regimi al Variare di T
- T → 0 (fermioni): gradino , mare di Fermi, pressione di degenerazione
- T → 0 (bosoni): condensazione nello stato fondamentale,
- T intermedia (fermioni): gradino arrotondato su scala , correzioni di Sommerfeld
- T intermedia (bosoni): , transizione a BEC
- T alta (z ≪ 1): entrambi → Maxwell-Boltzmann
Riepilogo
Punti Chiave
- FD: , a T=0 diventa
- BE: , con
- Limite classico :
- Solo stati entro da sono "attivi" termicamente