Ricavare FD/BE: da ρ al n(ε)
Modi indipendenti Ξ = ∏_k Ξ_k, fermioni n_k = 0,1, bosoni n_k = 0,1,2,...
Il Problema
In meccanica quantistica, le particelle identiche sono indistinguibili. La funzione d'onda di un sistema di particelle identiche deve avere una simmetria definita sotto scambio di due particelle:
- Bosoni: funzione d'onda simmetrica (spin intero: 0, 1, 2, ...)
- Fermioni: funzione d'onda antisimmetrica (spin semi-intero: 1/2, 3/2, ...)
Principio di Esclusione di Pauli
Due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico. Questo limita il numero di occupazione a .
Per i bosoni, non c'è limite: .
Derivazione nell'Ensemble Gran Canonico
Consideriamo un sistema di particelle non interagenti con stati di singola particella di energia . Ogni stato può essere trattato indipendentemente.
Gran Funzione di Partizione per Stato
Per un singolo stato :
Caso Fermionico (Fermi-Dirac)
Per i fermioni, :
Il numero medio di occupazione è:
Distribuzione di Fermi-Dirac
Caso Bosonico (Bose-Einstein)
Per i bosoni, :
Convergenza
La serie converge solo se per tutti gli stati, ovvero dove è l'energia dello stato fondamentale (tipicamente 0).
Il numero medio di occupazione è:
Distribuzione di Bose-Einstein
Limite Classico
Quando (cioè ), entrambe le distribuzioni convergono alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann:
Criterio di Classicità
Il limite classico è valido quando , cioè quando la distanza media tra particelle è molto maggiore della lunghezza d'onda termica.
Gran Potenziale Totale
La gran funzione di partizione totale è il prodotto su tutti gli stati:
Il gran potenziale è:
dove il segno superiore è per i fermioni e quello inferiore per i bosoni.
Confronto delle Statistiche
A parità di energia e temperatura:
- I fermioni "evitano" gli stessi stati (esclusione di Pauli)
- I bosoni "preferiscono" accumularsi negli stessi stati
Riepilogo
Punti Chiave
- Fermioni:
- Bosoni:
- Nel limite classico (): Maxwell-Boltzmann
- Per i bosoni, (con )
- Per i fermioni, a , (energia di Fermi)