Ricavare le Statistiche Quantistiche
Derivazione di Fermi-Dirac e Bose-Einstein dall'ensemble gran canonico
Il Problema
In meccanica quantistica, le particelle identiche sono indistinguibili. La funzione d'onda di un sistema di particelle identiche deve avere una simmetria definita sotto scambio di due particelle:
- Bosoni: funzione d'onda simmetrica (spin intero: 0, 1, 2, ...)
- Fermioni: funzione d'onda antisimmetrica (spin semi-intero: 1/2, 3/2, ...)
Principio di Esclusione di Pauli
Due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico. Questo limita il numero di occupazione a .
Per i bosoni, non c'è limite: .
Derivazione nell'Ensemble Gran Canonico
Consideriamo un sistema di particelle non interagenti con stati di singola particella di energia . Ogni stato può essere trattato indipendentemente.
Gran Funzione di Partizione per Stato
Per un singolo stato :
Caso Fermionico (Fermi-Dirac)
Per i fermioni, :
Il numero medio di occupazione è:
Distribuzione di Fermi-Dirac
Caso Bosonico (Bose-Einstein)
Per i bosoni, :
Convergenza
La serie converge solo se per tutti gli stati, ovvero dove è l'energia dello stato fondamentale (tipicamente 0).
Il numero medio di occupazione è:
Distribuzione di Bose-Einstein
Limite Classico
Quando (cioè ), entrambe le distribuzioni convergono alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann:
Criterio di Classicità
Il limite classico è valido quando , cioè quando la distanza media tra particelle è molto maggiore della lunghezza d'onda termica.
Gran Potenziale Totale
La gran funzione di partizione totale è il prodotto su tutti gli stati:
Il gran potenziale è:
dove il segno superiore è per i fermioni e quello inferiore per i bosoni.
Confronto delle Statistiche
A parità di energia e temperatura:
- I fermioni "evitano" gli stessi stati (esclusione di Pauli)
- I bosoni "preferiscono" accumularsi negli stessi stati
Riepilogo
Punti Chiave
- Fermioni:
- Bosoni:
- Nel limite classico (): Maxwell-Boltzmann
- Per i bosoni, (con )
- Per i fermioni, a , (energia di Fermi)