Gas Perfetto nel Gran Canonico
Sistema aperto allo scambio di particelle ed energia
L'Ensemble Gran Canonico
L'ensemble gran canonico descrive un sistema in contatto termico e chimico con un reservoir. Sia la temperatura che il potenziale chimico sono fissati, mentre energia e numero di particelle fluttuano.
Gran Funzione di Partizione
dove è la fugacità e è la funzione di partizione canonica per particelle.
Calcolo per il Gas Ideale
Per il gas ideale, dove :
Riconosciamo la serie esponenziale:
Gran Funzione di Partizione del Gas Ideale
Gran Potenziale
Gran Potenziale (Potenziale di Landau)
Il gran potenziale è il potenziale termodinamico naturale per l'ensemble gran canonico.
Per il gas ideale:
Numero Medio di Particelle
Per il gas ideale:
Da cui ricaviamo:
Potenziale Chimico
dove è la densità.
Equazione di Stato
Poiché :
Equazione di Stato
Fluttuazioni del Numero di Particelle
Distribuzione Poissoniana
Nel gas ideale, le fluttuazioni del numero di particelle seguono una distribuzione di Poisson:
Le fluttuazioni relative svaniscono nel limite termodinamico.
Relazioni Termodinamiche
Dal differenziale :
Equivalenza con il Canonico
Nel limite termodinamico, il gran canonico dà gli stessi risultati del canonico e del microcanonico. Le fluttuazioni relative di vanno come e diventano trascurabili.
Riepilogo
Punti Chiave
- con (fugacità)
- Per il gas ideale:
- Gran potenziale:
- Fluttuazioni poissoniane:
- Si ritrova