Gas Perfetto nel Canonico
Calcolo completo della funzione di partizione e delle proprietà termodinamiche
Hamiltoniana del Gas Ideale
Per particelle non interagenti di massa in un volume :
Funzione di Partizione per Singola Particella
Poiché le particelle sono indipendenti, calcoliamo prima la partizione per una singola particella:
L'integrale sulle posizioni dà il volume :
L'integrale gaussiano sui momenti (usando ):
Funzione di Partizione Singola Particella
dove la lunghezza d'onda termica di de Broglie è:
Funzione di Partizione per N Particelle
Per particelle indistinguibili, dobbiamo dividere per :
Funzione di Partizione del Gas Ideale
Energia Libera
Usando e l'approssimazione di Stirling :
Energia Libera di Helmholtz
Proprietà Termodinamiche
Pressione
Equazione di Stato
Entropia
Ricordando che , quindi :
Formula di Sackur-Tetrode
Questa è la formula di Sackur-Tetrode per l'entropia del gas ideale, che ritroviamo anche dal microcanonico!
Energia Interna
Energia Interna
Come atteso dal teorema dell'equipartizione (3 gradi di libertà traslazionali).
Calore Specifico
Potenziale Chimico
dove è la densità.
Significato della Lunghezza d'Onda Termica
La lunghezza è la scala di lunghezza quantistica a temperatura .
- : regime classico, le particelle sono ben separate
- : regime quantistico, gli effetti di indistinguibilità diventano importanti (statistiche di Fermi-Dirac o Bose-Einstein)
Riepilogo
Punti Chiave
- con
- (fattore di Gibbs)
- (equazione di stato)
- ,