Ensemble Gran Canonico: Derivazione, Fugacità, Gran Potenziale
Marginalizzazione con scambio di E e N, fugacità z = e^{βμ}, gran partizione Ξ
Motivazione Fisica
L'ensemble gran canonico descrive un sistema in equilibrio con un reservoirche può scambiare sia energia che particelle. È l'ensemble naturale per:
- Sistemi aperti (reazioni chimiche, adsorbimento)
- Sistemi quantistici di particelle identiche
- Calcoli più semplici per gas non interagenti
Derivazione
Consideriamo un sistema in contatto con un grande reservoir . L'energia totale e il numero totale sono conservati.
La probabilità di trovare con energia e particelle è:
Espandendo l'entropia del reservoir:
Distribuzione Gran Canonica
Gran Funzione di Partizione
Gran Funzione di Partizione
La somma è su tutti i numeri di particelle e tutti i microstati per ogni .
Gran Potenziale
Gran Potenziale (Landau)
Il gran potenziale è legato alle altre grandezze termodinamiche da:
Valori Medi
Numero Medio di Particelle
Energia Media
Pressione
Fluttuazioni
Fluttuazioni del Numero
Per il gas ideale: (distribuzione di Poisson).
Fluttuazioni dell'Energia
Le fluttuazioni dell'energia sono più complicate perché includono correlazioni con le fluttuazioni di .
Relazione di Gibbs-Duhem
Relazione Fondamentale
Dal fatto che e dalla relazione di Eulero per grandezze estensive, si ricava:
Questa è la relazione di Gibbs-Duhem, che lega le variazioni delle variabili intensive.
Riepilogo
Punti Chiave
- Variabili naturali:
- Equivalente agli altri ensemble nel limite termodinamico
- Particolarmente utile per sistemi quantistici