Ensemble Canonico: Derivazione per Marginalizzazione
Da P(x,x_B) dell'universo microcanonico a P(x) = e^{−βH}/Z per marginalizzazione sul bagno
Setup del Problema
Consideriamo un sistema piccolo in contatto termico con un grandebagno termico (heat bath) . Il sistema composto è isolato con energia totale fissata:
Il bagno è molto più grande del sistema: e.
Applicazione del Postulato
Il sistema composto è descritto dall'ensemble microcanonico: tutti i microstati con energia sono equiprobabili.
Il microstato dell'universo è con distribuzione:
Marginalizziamo sul bagno per ottenere la distribuzione del sistema:
Espansione dell'Entropia
Usando e sviluppando in Taylor per:
Definizione di Temperatura
Per definizione termodinamica:
Quindi:
Distribuzione di Boltzmann
Sostituendo:
Distribuzione Canonica sul Microstato
Probabilità dell'energia (marginalizzazione ulteriore):
L'energia interna è:
Perché i Termini Superiori Sono Trascurabili
I termini di ordine superiore nello sviluppo vanno come :
Nel limite (bagno infinito), questi termini sono trascurabili.
Bagno Termico Ideale
Un bagno termico ideale ha , così che la sua temperatura non cambia quando assorbe o cede energia. In pratica, basta che .
Interpretazione Fisica
Il fattore di Boltzmann riflette il fatto che:
- Stati ad alta energia sono meno probabili perché lasciano meno energia al bagno, riducendo il numero di microstati accessibili
- Il bagno "preferisce" stati del sistema a bassa energia perché così può esplorare più configurazioni
- La temperatura determina quanto rapidamente la probabilità decade con l'energia
Riepilogo
Punti Chiave
- Sistema + bagno isolato → ensemble microcanonico per il tutto
- Sviluppo di Taylor dell'entropia del bagno
- emerge naturalmente
- Si ottiene
- La temperatura è una proprietà del bagno