Relazioni Fluttuazione-Dissipazione
Il legame profondo tra fluttuazioni all'equilibrio e risposta a perturbazioni
Il Concetto Fondamentale
Le relazioni fluttuazione-dissipazione collegano due aspetti apparentemente distinti della fisica:
- Fluttuazioni: variazioni spontanee delle grandezze fisiche all'equilibrio
- Dissipazione: risposta irreversibile del sistema a perturbazioni esterne
Queste relazioni mostrano che lo stesso meccanismo microscopico che causa le fluttuazioni è responsabile della dissipazione.
Fluttuazioni dell'Energia
Nel canonico, le fluttuazioni dell'energia sono legate al calore specifico:
Prima Relazione Fluttuazione-Dissipazione
Le fluttuazioni di energia all'equilibrio sono proporzionali alla capacità del sistema di assorbire calore (calore specifico):
Fluttuazioni del Numero di Particelle
Nel gran canonico:
Questa è legata alla compressibilità isoterma :
Teorema di Fluttuazione-Dissipazione
Consideriamo un sistema perturbato da una forza esterna che si accoppia a una variabile . L'Hamiltoniana diventa:
La risposta lineare è caratterizzata dalla funzione di risposta :
Teorema di Fluttuazione-Dissipazione (Kubo)
La funzione di risposta è legata alla funzione di correlazione all'equilibrio:
dove è la funzione di Heaviside e le medie sono prese all'equilibrio (senza perturbazione).
Esempio: Moto Browniano
Una particella browniana in un fluido viscoso soddisfa l'equazione di Langevin:
dove è il coefficiente di attrito e è una forza stocastica (rumore).
Le proprietà del rumore sono legate all'attrito:
Relazione di Einstein
Il coefficiente di diffusione è legato all'attrito:
Maggiore è l'attrito (dissipazione), minore è la diffusione. Ma l'attrito è causato dagli stessi urti molecolari che causano il moto browniano (fluttuazioni)!
Teorema di Nyquist
In un circuito elettrico, una resistenza genera rumore termico (rumore Johnson-Nyquist):
dove è la banda di frequenza. La resistenza (dissipazione) è la fonte delle fluttuazioni di tensione.
Significato Profondo
Origine Microscopica Comune
Le relazioni fluttuazione-dissipazione rivelano che:
- Non si può avere dissipazione senza fluttuazioni
- Le fluttuazioni all'equilibrio contengono tutta l'informazione sulla risposta del sistema
- Il secondo principio è una conseguenza statistica, non fondamentale
Riepilogo
Punti Chiave
- : fluttuazioni ↔ calore specifico
- : fluttuazioni ↔ compressibilità
- La funzione di risposta è legata alla correlazione all'equilibrio
- : diffusione ↔ attrito (Einstein)
- Rumore Johnson: