Modello di Ising
Derivazione rigorosa con metodo della matrice di trasferimento e transizioni di fase
Definizione del Modello
Il modello di Ising (1925) è il modello più semplice che esibisce una transizione di fase. Consideriamo spin su un reticolo, dove ogni spin può assumere solo due valori: .
Hamiltoniana di Ising
dove:
- : costante di accoppiamento
- : ferromagnetico (favorisce allineamento parallelo)
- : antiferromagnetico (favorisce allineamento antiparallelo)
- : somma su coppie di primi vicini
- : campo magnetico esterno (in unità di )
Funzione di Partizione
La funzione di partizione canonica è:
La somma contiene termini: calcolo diretto impossibile per macroscopico. Soluzione esatta possibile solo in 1D (qualsiasi) e 2D (Onsager, 1944, solo ).
Soluzione Esatta 1D: Metodo della Matrice di Trasferimento
Setup del Problema
Consideriamo una catena 1D di spin con condizioni periodiche (). L'Hamiltoniana diventa:
Costruzione della Matrice di Trasferimento
Riscriviamo in forma fattorizzata. Distribuiamo il termine di campo equamente tra spin adiacenti:
Definiamo gli elementi della matrice di trasferimento:
Matrice di Trasferimento
dove . Esplicitamente:
Calcolo della Funzione di Partizione
La funzione di partizione si scrive come prodotto di matrici:
La traccia di una matrice è invariante per diagonalizzazione. Se e sono gli autovalori di :
Calcolo degli Autovalori
L'equazione caratteristica :
Usando :
Autovalori della Matrice di Trasferimento
Si ha sempre .
Limite Termodinamico
Per , poiché :
L'energia libera per spin è:
Magnetizzazione
La magnetizzazione per spin è:
Assenza di Transizione in 1D
Per :
Non c'è magnetizzazione spontanea in 1D! Solo a (dove ) si ha ordine ferromagnetico.
Argomento Fisico: Domini di Peierls
Perché non c'è transizione in 1D? Consideriamo il costo energetico di un domain wall(parete di dominio) tra spin su e giù:
Ma l'entropia associata alla posizione della parete è . La variazione di energia libera è:
Instabilità dell'Ordine 1D
Per , per ogni . È sempre conveniente creare pareti di dominio, distruggendo l'ordine a lungo raggio.
Transizione di Fase in 2D
In due dimensioni, l'argomento di Peierls cambia: il costo energetico di un dominio di taglia scala come il perimetro(), ma l'entropia scala anch'essa come . A bassa temperatura, l'energia vince e l'ordine è stabile.
Temperatura Critica di Onsager (1944)
Per il reticolo quadrato 2D con :
Parametro d'Ordine e Rottura di Simmetria
La magnetizzazione per spin è il parametro d'ordine:
Per :
- : (fase paramagnetica, disordinata)
- : (fase ferromagnetica, ordinata)
Rottura Spontanea di Simmetria
L'Hamiltoniana per è simmetrica sotto . Ma lo stato fondamentale () ha , rompendo spontaneamente questa simmetria. Il sistema "sceglie" uno dei due stati equivalenti.
Magnetizzazione Spontanea (Onsager)
Per il modello 2D con :
Magnetizzazione Spontanea 2D
Vicino a : , con esponente critico .
Esponenti Critici
Definendo la temperatura ridotta , le grandezze termodinamiche divergono con leggi di potenza:
Esponenti Critici 2D Ising (Esatti)
- Magnetizzazione: ,
- Calore specifico: , (divergenza logaritmica)
- Suscettività: ,
- Lunghezza di correlazione: ,
- Isoterma critica (): ,
Relazioni di Scaling
Gli esponenti non sono indipendenti ma soddisfano relazioni universali:
Universalità
Classi di Universalità
Gli esponenti critici dipendono solo da:
- Dimensionalità del sistema
- Simmetria del parametro d'ordine (qui: )
- Raggio delle interazioni (corto vs lungo raggio)
Non dipendono dalla struttura del reticolo, dal valore di , o da altri dettagli microscopici. Questa è la base del gruppo di rinormalizzazione.
Riepilogo
Punti Chiave
- Hamiltoniana:
- 1D: Matrice di trasferimento 2×2,
- 1D: Nessuna transizione per (argomento di Peierls)
- 2D:
- 2D: ,
- Universalità: esponenti dipendono solo da e simmetria