Modello di Ising Variazionale (Campo Medio)
Approssimazione di campo medio con il principio variazionale
L'Idea del Campo Medio
L'approssimazione di campo medio sostituisce l'interazione tra spin con uncampo effettivo medio. Ogni spin vede un campo creato dalla magnetizzazione media.
Principio Variazionale
Disuguaglianza di Bogoliubov
Per qualsiasi Hamiltoniana di prova :
dove è l'energia libera di e le medie sono prese con .
Scegliamo come Hamiltoniana di prova un sistema di spin indipendenti in un campo :
Calcolo dell'Energia Libera Variazionale
Per , ogni spin è indipendente:
La magnetizzazione media con è:
Calcoliamo per l'Hamiltoniana di Ising:
Con vicini per sito:
Ottimizzazione
L'energia libera variazionale è:
Minimizziamo rispetto a :
Equazione di Autoconsistenza
Questa equazione trascendente determina la magnetizzazione in funzione di e .
Analisi delle Soluzioni
Campo Nullo (h = 0)
L'equazione diventa .
- è sempre soluzione
- Per , appaiono soluzioni
Temperatura Critica (Campo Medio)
Per il reticolo quadrato (z = 4):
Confronto con Soluzione Esatta
Il valore esatto di Onsager è . Il campo medio sovrastima perché ignora le fluttuazioni.
Esponente Critico β
Espandendo per vicino a :
Risolvendo:
L'esponente di campo medio è diverso dal valore esatto 2D ().
Riepilogo
Punti Chiave
- Principio variazionale:
- Campo effettivo:
- Autoconsistenza:
- (sovrastimato)
- Esponente (diverso da esatto)
- Il metodo migliora in alte dimensioni