Gran Canonico in Meccanica Quantistica
Formulazione rigorosa dell'ensemble gran canonico e seconda quantizzazione
Motivazione: Sistemi con N Variabile
In molte situazioni fisiche (sistemi aperti, reazioni chimiche, processi quantistici con creazione/annichilazione di particelle), il numero di particelle non è conservato. L'ensemble gran canonico tratta come una variabile statistica.
Operatore Densità Gran Canonico
Operatore Densità
In meccanica quantistica, lo stato statistico è descritto dall'operatore densità(o matrice densità) , operatore hermitiano positivo con .
Il valore di aspettazione di un osservabile è:
Nell'ensemble gran canonico, massimizziamo l'entropia di von Neumann con vincoli su energia media e numero medio di particelle:
Operatore Densità Gran Canonico
dove:
- : temperatura inversa
- : potenziale chimico (moltiplicatore di Lagrange per )
- : gran funzione di partizione (normalizzazione)
Gran Funzione di Partizione
Gran Funzione di Partizione
dove è la fugacità e è la funzione di partizione canonica a particelle.
La traccia è su tutti gli stati del sistema con tutti i possibili numeri di particelle.
Spazio di Fock
Per descrivere sistemi con numero di particelle variabile, introduciamo lospazio di Fock:
Spazio di Fock
dove:
- : stato del vuoto
- : spazio di singola particella
- : prodotto tensoriale (anti)simmetrizzato di copie
Simmetria e Statistica
Per particelle identiche, la funzione d'onda deve avere simmetria definita:
- Bosoni (spin intero): funzione d'onda simmetrica
- Fermioni (spin semintero): funzione d'onda antisimmetrica
Operatori di Creazione e Annichilazione
La seconda quantizzazione introduce operatori che creano/distruggono particelle:
Operatori di Seconda Quantizzazione
Per ogni stato di singola particella :
- : crea una particella nello stato
- : annichila una particella dallo stato
Relazioni di commutazione/anticommutazione:
Operatore Numero di Occupazione
Per fermioni: , quindi (principio di Pauli).
Per bosoni: .
Hamiltoniana e Operatore Numero
Per un sistema di particelle non interagenti con stati di singola particella di energia :
Commutatività
Per particelle non interagenti, e. Gli operatori numero di occupazione sono simultaneamente diagonalizzabili.
Calcolo della Gran Funzione di Partizione
Fattorizzazione
Poiché e gli stati sono indipendenti:
Fermioni
Per fermioni, :
Bosoni
Per bosoni, . La serie geometrica converge se :
Vincolo su μ per Bosoni
Per la convergenza, il potenziale chimico deve soddisfare dove è lo stato fondamentale. Per particelle libere (): .
Gran Potenziale
Gran Potenziale (Potenziale di Landau)
Esplicitamente:
Segno superiore (−) per fermioni, inferiore (+) per bosoni.
Relazioni Termodinamiche
Dal differenziale :
Inoltre, (relazione di Eulero per il gran canonico).
Numeri Medi di Occupazione
Il numero medio di particelle nello stato è:
Distribuzioni Quantistiche
Fermi-Dirac (fermioni):
Bose-Einstein (bosoni):
Passaggio al Continuo
Per un sistema macroscopico, gli stati discreti diventano un continuo:
dove è la densità di stati. Per particelle libere in 3D (incluso spin ):
Grandezze Termodinamiche
Numero Totale e Energia
dove è la distribuzione FD o BE.
Relazione PV per Gas Non Relativistico
Per particelle libere non relativistiche in 3D:
Questa relazione vale sia per fermioni che per bosoni, sia classicamente che quantisticamente.
Fluttuazioni
Nel gran canonico, il numero di particelle fluttua. La varianza è:
Per ogni stato:
Segno superiore (−) per fermioni, inferiore (+) per bosoni.
Riepilogo
Punti Chiave
- Operatore densità:
- Spazio di Fock:
- Operatori: con [,] per bosoni, {,} per fermioni
- Fattorizzazione:
- Gran potenziale:
- Distribuzioni: