Limite Classico delle Statistiche Quantistiche
Quando la meccanica quantistica diventa meccanica classica
Distribuzioni Quantistiche
Le distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein sono:
Condizione per il Limite Classico
Il limite classico si ottiene quando il numero di occupazione è molto minore di 1 per tutti gli stati:
In questo limite, il ±1 nel denominatore diventa trascurabile e si ottiene:
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
dove è la fugacità.
Criterio di Classicità
La condizione per lo stato fondamentale () implica , cioè .
Per un gas ideale, la condizione sul potenziale chimico equivale a:
Criterio di Classicità
dove è la densità e è la lunghezza d'onda termica di de Broglie.
Interpretazione Fisica
Il parametro ha un significato geometrico:
- : distanza media tra particelle
- : "dimensione quantistica" della particella
Interpretazione
significa che le "nubi quantistiche" delle particelle non si sovrappongono. Le particelle sono distinguibili nella pratica, anche se fondamentalmente identiche. Gli effetti di scambio sono trascurabili.
Dipendenza dalla Temperatura
Poiché :
- Alta temperatura: → comportamento classico
- Bassa temperatura: → effetti quantistici
- Bassa densità: favorisce il limite classico
- Alta densità: favorisce effetti quantistici
Esempi Numerici
Gas ideale a temperatura ambiente (T = 300 K):
- Distanza media a 1 atm:
- → classico
Elettroni in un metallo:
- → fortemente quantistico
Riepilogo
Punti Chiave
- Limite classico:
- Criterio:
- piccolo: alta T, particelle pesanti
- Le "nubi quantistiche" non si sovrappongono
- FD e BE convergono a Maxwell-Boltzmann
- Gas a T ambiente: classico. Elettroni in metalli: quantistici