Gruppo di Rinormalizzazione
Teoria moderna delle transizioni di fase e universalità
Idea Fondamentale
Al punto critico, la lunghezza di correlazione diverge. Il sistema appare invariante di scala: sembra lo stesso a tutte le scale di lunghezza.
Il gruppo di rinormalizzazione (RG) sfrutta questa invarianza per studiare le transizioni di fase.
Trasformazione RG
Block Spin (Kadanoff)
Raggruppiamo spin in blocchi di dimensione e definiamo nuovi spin "effettivi" per ogni blocco. L'Hamiltoniana ha la stessa forma ma con nuovi parametri:
dove rappresenta l'accoppiamento adimensionale .
Punti Fissi
Il punto critico corrisponde a un punto fisso della trasformazione:
I punti fissi possono essere:
- : punto fisso ad alta temperatura (disordine)
- : punto fisso a bassa temperatura (ordine)
- : punto critico
Esponenti Critici
Linearizzando attorno al punto fisso:
dove è l'autovalore della matrice Jacobiana.
Esponente dalla RG
Se , allora:
Gli altri esponenti seguono da relazioni di scala.
Universalità
Bacino di Attrazione
Tutti i sistemi nello stesso bacino di attrazione di un punto fisso hanno gli stessi esponenti critici. La classe di universalità dipende solo da:
- Dimensionalità
- Simmetria del parametro d'ordine
- Range delle interazioni
Relazioni di Scala
Gli esponenti non sono indipendenti. Le relazioni di scala includono:
Dimensione Critica
Sopra la dimensione critica superiore , le fluttuazioni sono irrilevanti e gli esponenti di campo medio sono esatti.
- Ising:
- Transizione ferroelettrica:
Riepilogo
Punti Chiave
- RG: integrazione dei gradi di libertà a piccola scala
- Punto critico = punto fisso della trasformazione
- Esponenti = autovalori della linearizzazione
- Universalità: bacini di attrazione
- Relazioni di scala tra esponenti
- Dimensione critica: confine tra MF e non-MF