Teorema H di Boltzmann
Irreversibilità e freccia del tempo nella meccanica statistica
Equazione di Boltzmann
Per un gas diluito, l'evoluzione della funzione di distribuzione è governata dall'equazione di Boltzmann:
Il termine di collisione (Stosszahlansatz) introduce irreversibilità.
Funzionale H
Funzionale H
è legato all'entropia di Boltzmann:.
Teorema H
Teorema H di Boltzmann
decresce (o rimane costante) nel tempo. L'uguaglianza vale solo all'equilibrio (distribuzione di Maxwell).
Equilibrio
La condizione si ottiene quando è la distribuzione di Maxwell-Boltzmann:
Il Paradosso dell'Irreversibilità
Obiezione di Loschmidt
Le equazioni del moto sono invarianti per inversione temporale (). Come può emergere irreversibilità (freccia del tempo)?
La risposta sta nell'ipotesi di caos molecolare (Stosszahlansatz): prima di ogni collisione, le velocità delle particelle sono scorrelate.
Risoluzione
L'irreversibilità non è dinamica ma statistica. È estremamente improbabile (non impossibile) osservare un aumento spontaneo di . Le fluttuazioni di Poincaré sono reali ma su tempi astronomicamente lunghi.
Obiezione di Zermelo
Il teorema di ricorrenza di Poincaré dice che un sistema confinato tornerà arbitrariamente vicino allo stato iniziale. Ma i tempi di ricorrenza sono:
Per , questi tempi superano l'età dell'universo.
Interpretazione Moderna
L'approccio moderno distingue:
- Entropia di Boltzmann: - dipende dal macrostato
- Entropia di Gibbs: - costante per evoluzione hamiltoniana
La crescita dell'entropia di Boltzmann riflette il passaggio da macrostati improbabili a macrostati tipici.
Riepilogo
Punti Chiave
- ,
- Teorema H:
- All'equilibrio: distribuzione di Maxwell
- Irreversibilità: statistica, non dinamica
- Stosszahlansatz: ipotesi di decorrelazione
- Tempi di ricorrenza: