9.3 Espansione di Sommerfeld
Correzioni a bassa temperatura, calore specifico elettronico e derivazione completa
A temperature , possiamo calcolare le correzioni alle proprietà del gas di Fermi usando l'espansione di Sommerfeld. Questa è una tecnica potente per valutare integrali del tipo dove è la distribuzione di Fermi-Dirac.
Formulazione del Problema
Vogliamo valutare integrali della forma:
dove è la distribuzione di Fermi-Dirac.
Intuizione fisica
A temperature basse ma finite, la distribuzione di Fermi-Dirac non è più una funzione a gradino perfetta, ma è "smussata" in una regione di larghezza attorno all'energia di Fermi. Possiamo pensare a questa regione come una "transizione" da stati pieni a stati vuoti.
Derivazione dell'Espansione di Sommerfeld
Iniziamo integrando per parti:
dove è la primitiva di .
Il termine al contorno si annulla perché e assumiamo . Quindi:
Nota
Sostituendo nell'integrale:
Valutazione degli integrali
Il primo integrale è banale (nota che a basse T):
Il secondo integrale si annulla per simmetria (integrando per parti o per simmetria di ):
Il terzo integrale richiede il calcolo esplicito. Con la sostituzione :
L'integrale si valuta usando o noti che:
Espansione di Sommerfeld
Raccogliendo tutti i termini, otteniamo l'espansione di Sommerfeld:
Il primo termine è il risultato a ; i termini successivi sono le correzioni a bassa temperatura. Solo le derivate dispari contribuiscono.
Applicazione: Numero di Particelle
Per determinare come il potenziale chimico dipende dalla temperatura, usiamo la condizione che il numero di particelle sia fissato:
Per un gas libero 3D, con .
Usando l'espansione di Sommerfeld:
A , abbiamo , quindi:
Risolvendo per al primo ordine in :
Potenziale chimico a T finita
Il potenziale chimico diminuisce con la temperatura (per densità fissata).
Applicazione: Energia Interna
L'energia interna è:
Per , abbiamo .
Usando l'espansione di Sommerfeld:
Ora sostituiamo :
Espandendo al primo ordine:
Energia a bassa temperatura
dove è l'energia a zero temperatura.
Calore Specifico Elettronico
Il calore specifico a volume costante è:
Derivando l'espressione per l'energia:
Calore specifico del gas di Fermi
dove è la densità degli stati all'energia di Fermi, e abbiamo usato .
In forma compatta:
Nota
Interpretazione Fisica
Perché C_V è così piccolo?
Solo gli elettroni in una regione di larghezza attorno all'energia di Fermi possono essere eccitati termicamente. La frazione di elettroni "attivi" è:
Ciascuno di questi elettroni contribuisce di energia termica, quindi:
Da cui , che è volte il valore classico.
Per i metalli, , quindi a temperatura ambiente (), il calore specifico elettronico è circa del valore classico.
Applicazione ai Metalli
In un metallo, il calore specifico totale ha due contributi:
Legge T per metalli
A basse temperature ():
Il termine lineare domina a molto basse temperature, mentre il termine cubico (fononi) diventa importante a temperature più alte. Questo comportamento è verificato sperimentalmente in tutti i metalli.
Rame: calcolo di γ
Per il rame, la densità degli stati all'energia di Fermi è:
Il coefficiente γ è:
Il valore sperimentale è . La differenza è dovuta agli effetti della struttura di banda (interazioni elettrone-elettrone).