9.3 Espansione di Sommerfeld
Correzioni a bassa temperatura e calore specifico elettronico
A temperature , possiamo calcolare le correzioni alle proprietà del gas di Fermi usando l'espansione di Sommerfeld.
Idea dell'Espansione
A temperature finite ma basse, la distribuzione di Fermi-Dirac non è più una funzione a gradino, ma è "smussata" in una regione di larghezza attorno all'energia di Fermi.
Espansione di Sommerfeld
Per integrali della forma dove è la distribuzione di Fermi-Dirac:
Il primo termine è il risultato a ; il secondo è la correzione a bassa temperatura.
Calore Specifico Elettronico
Applicando l'espansione di Sommerfeld all'energia:
Energia a Bassa Temperatura
dove è la densità di stati all'energia di Fermi.
Calore Specifico del Gas di Fermi
Derivando rispetto alla temperatura:
dove è il coefficiente di Sommerfeld.
Nota
Interpretazione Fisica
Perché C_V è così piccolo?
Solo gli elettroni in una regione di larghezza attorno all'energia di Fermi possono essere eccitati termicamente. La frazione di elettroni "attivi" è .
Ciascuno di questi contribuisce di energia termica, quindi:
Da cui , che è volte il valore classico.
Potenziale Chimico a T Finita
Anche il potenziale chimico riceve correzioni:
Il potenziale chimico diminuisce con la temperatura (per densità fissa).