2.5 Ergodicità
Sistemi ergodici e teoremi fondamentali
Sistemi Ergodici
Sistema ergodico
Un sistema è ergodico se .
Fissando l'energia (prendendo un sottospazio a ), la traiettoria presa da un qualsiasi punto passerà arbitrariamente vicino a qualsiasi altro punto nello spazio delle fasi.
La traiettoria può passare su tutta la superficie del sottospazio.
Componenti Ergodiche
Un altro modo per definire un sistema ergodico è dire che esiste una sola componente ergodica.
Sistema non ergodico
Se ci fossero regioni esplorate da punti diversi (es. 2 componenti ergodiche separate), il sistema non sarebbe ergodico, perché ci sarebbero punti rispetto ai quali non passo arbitrariamente vicino.
Teoremi di Birkhoff
Primo Teorema
Primo Teorema di Birkhoff
Se il sistema è ergodico, allora le medie temporali che posso fare lungo una traiettorianon dipendono dall'istante iniziale in cui inizio a calcolare la media.
Prendendo una traiettoria e decidendo di fare una media temporale della mia osservabile su di essa:
Il teorema dice che la media non dipende da , perché essendo il sistema ergodico esplorerà in maniera densa tutto lo spazio delle fasi.
Secondo Teorema
Secondo Teorema di Birkhoff
La media non dipende nemmeno dalle traiettorie che vado a considerare, quindi nemmeno da e .
Equivalenza Media Temporale - Media d'Ensemble
Teorema ergodico
Per un sistema ergodico, la media temporale coincide con la media d'ensemble:
Questo risultato è fondamentale perché permette di calcolare le proprietà termodinamiche usando la distribuzione di probabilità invece di dover seguire l'evoluzione temporale del sistema.
Validità dell'Ipotesi Ergodica
Nota
Esempi di sistemi non ergodici:
- Sistemi integrabili (troppe costanti del moto)
- Sistemi con simmetrie speciali