2.4 Teorema di Liouville
Conservazione del volume nello spazio delle fasi
Reversibilità della Dinamica Hamiltoniana
Partiamo dalla dinamica Hamiltoniana: essa è reversibile.
Presa la traiettoria , se inverto il tempo e prendo ,, anche questa nuova traiettoria obbedisce alle equazioni di Hamilton.
Non intersezione delle traiettorie
Nello spazio delle fasi non ci sono traiettorie che si incrociano. Se ci fosse un punto di incontro, questo darebbe ambiguità deterministica: tornando indietro dal punto finale avrei 2 possibili punti di partenza, il che non è ammissibile.
Introduzione al Teorema
Il Teorema di Liouville indica che, presa una nuvola di punti, essa cambierà per l'evoluzione Hamiltoniana ma il volume che occupa resterà costante.
Analogia con i Fluidi
Posso vedere le traiettorie, prendere un volumetto e vedere la sua evoluzione temporale. Questo è analogo al flusso di un fluido (metodo di Eulero).
Derivazione
Equazione di Continuità
Fisso un certo volume nel -space e osservo un flusso di traiettorie di punti che entrano ed escono.
Il numero di punti/microstati dentro il volume :
Definisco una velocità nello spazio delle fasi:
La variazione nel tempo del numero dei punti:
Usando il teorema della divergenza e portando la derivata nell'integrale:
Essendo arbitrario:
Semplificazione con le Equazioni di Hamilton
Esplicitando la divergenza nello spazio delle fasi:
Per le equazioni di Hamilton:
Questi due termini sono uguali e opposti, quindi si cancellano!
Enunciato del Teorema
Dall'equazione di continuità si ottiene:
Ricordando che :
Teorema di Liouville
La derivata totale di è sempre uguale a zero! Quindi è costante nel tempo lungo le traiettorie nello spazio .
Conseguenze
1.
2. Una nuvola di punti nello spazio delle fasi si comporta come un liquido incomprimibile
3. Una costante soddisfa le condizioni di una di equilibrio
Distribuzione di Equilibrio
Per che non dipende dal tempo, non solo ma anche.
Condizione di equilibrio
deve commutare con :
Infatti era funzione di , quindi commuta automaticamente.