2.3 Postulato Fondamentale
Postulato di uguale probabilità a priori
Postulato Fondamentale
Postulato di uguale probabilità a priori: Quando un sistema macroscopico è in equilibrio termodinamico, il suo stato microscopico è, con uguale probabilità, qualsiasi stato che soddisfi le condizioni macroscopiche del sistema.
Questo enunciato indica che se prendo un sistema soggetto a certe condizioni macroscopiche, date queste ultime, la probabilità di ciascun microstato è la stessa.
Applicazione a un Sistema Isolato
Preso un sistema isolato e imponendo delle condizioni macroscopiche come ,, , il principio indica che ogni microstato con energia , contenuto in volume e con particelle distinte ha la stessa probabilità.
Preso lo spazio delle fasi (-space), non tutte le configurazioni soddisferanno le proprietà , , . Ma ci sarà un sottospazio di configurazioni che invece le soddisfa.
Vincoli del sottospazio accessibile
Ogni microstato avrà stessa probabilità nel sottospazio che risponde alle condizioni imposte:
Formulazione Matematica
Volendo tradurre questo postulato in una formula matematica:
Da cui:
dove è una densità di probabilità(mentre è una probabilità). Quindi formalmente la quantità matematica che la descrive è una delta di Dirac.
Normalizzazione della Densità
La funzione scritta come delta di Dirac non è normalizzata. Per normalizzarla:
La normalizzazione è data dalla condizione:
Nota
Incertezza sull'Energia
Non è possibile fissare esattamente l'energia di un sistema, poiché non si può isolare perfettamente il sistema. Si può dire che la sua energia è definita a meno di un'incertezza:
In forma matematica:
dove è la funzione gradino di Heaviside.
Distribuzione Microcanonica
Ensemble Microcanonico
Un sistema isolato con valori definiti di , , prende il nome di Ensemble Microcanonico.
La distribuzione diventa:
La funzione dipende dall'Hamiltoniana del sistema.