7.1 Gas con Interazioni
Hamiltoniana con potenziale di interazione tra particelle
Fino ad ora abbiamo discusso solo sistemi liberi: particelle che si muovono senza interagire tra loro. La legge dei gas ideali è esatta nel limite di nessuna interazione tra atomi, ed è una buona approssimazione quando la densità è piccola.
Ora accenderemo le interazioni. Qui le cose diventano molto più interessanti — e molto più difficili. Molti dei problemi più importanti ancora irrisolti in fisica riguardano le interazioni tra un grande numero di particelle.
Hamiltoniana di un Gas Interagente
L'Hamiltoniana di un gas con interazioni a coppie è:
dove è la separazione tra le particelle e . La restrizione assicura che sommiamo su ogni coppia esattamente una volta.
Potenziale tra Atomi Neutri
Il potenziale tra due atomi neutri separati da una distanza ha due caratteristiche importanti:
Attrazione di Van der Waals
A grandi distanze, c'è una forza attrattiva che scala come . Questa nasce dai dipoli fluttuanti degli atomi neutri.
Gli atomi neutri non hanno dipoli permanenti, ma possono acquisire un dipolo temporaneo a causa delle fluttuazioni quantistiche. Se il primo atomo ha un dipolo istantaneo, questo indurrà un campo elettrico che, a sua volta, indurrà un dipolo nel secondo atomo . L'energia potenziale risultante scala come .
Repulsione a Corto Raggio
A brevi distanze, c'è una repulsione che cresce rapidamente, dovuta al principio di esclusione di Pauli che impedisce a due atomi di occupare lo stesso spazio.
Potenziale di Lennard-Jones
Potenziale di Lennard-Jones
dove è la profondità del pozzo di potenziale e è la distanza a cui il potenziale è zero. L'esponente 12 è scelto per convenienza: semplifica certi calcoli perché.
Nota
Funzione di Partizione
La funzione di partizione per il gas interagente è:
dove è la lunghezza d'onda termica di de Broglie. L'integrale sulle posizioni non si fattorizza più in modo ovvio a causa delle interazioni. Questo rende il calcolo molto più difficile rispetto al gas ideale.
Validità dell'espansione
L'espansione del viriale è valida per densità del gas molto inferiori a quelle dello stato liquido:
dove è approssimativamente il minimo del potenziale. Il lato destro è la densità atomica, cioè la densità di una sostanza in cui gli atomi sono impacchettati strettamente — un liquido!