5.4 Gas Ideale Gran Canonico

Funzione di partizione e proprietà del gas ideale

Gran Funzione di Partizione

Gas Ideale nel Gran Canonico

Per il gas ideale, la gran funzione di partizione è:

dove è la lunghezza d'onda termica di de Broglie.

Numero Medio di Particelle

Riarrangiando, otteniamo un'espressione per il potenziale chimico:

Potenziale Chimico del Gas Ideale

Se , il potenziale chimico è negativo.

Nota

è circa la lunghezza d'onda di de Broglie media di ogni particella, mentre

è il volume medio occupato da ogni particella. Quando la lunghezza d'onda di de Broglie diventa comparabile alla separazione tra particelle, gli effetti quantistici diventano importanti. Per fidarci del calcolo classico, dobbiamo avere

e corrispondentemente

Equazione di Stato

Calcoliamo l'equazione di stato nel gran canonico:

Legge dei Gas Ideali

Ritroviamo la legge dei gas ideali:

Interpretazione del Potenziale Chimico Negativo

A prima vista è strano che sia negativo. Abbiamo detto che il potenziale chimico è il costo energetico di aggiungere una particella. Sicuramente questa energia dovrebbe essere positiva!

Per capire perché non è così, guardiamo più attentamente la definizione:

Il potenziale chimico è il costo energetico di aggiungere una particella a entropia e volume costanti. Ma aggiungere una particella darà più modi di distribuire l'energia e quindi aumenterà l'entropia. Se insistiamo nel mantenere l'entropia costante, dovremo ridurre l'energia quando aggiungiamo una particella. Ecco perché per il gas ideale classico.

Fonte: David Tong, Statistical Physics (Cambridge), Section 2.2.4