Condensazione di Bose-Einstein
Derivazione rigorosa della temperatura critica e proprietà termodinamiche
Distribuzione di Bose-Einstein
Per un gas di bosoni non interagenti nell'ensemble gran canonico, il numero medio di occupazione di uno stato con energia è:
Vincolo sul Potenziale Chimico
Affinché , deve essere dove è l'energia dello stato fondamentale. Per particelle libere ():
Questo vincolo ha conseguenze drammatiche a basse temperature.
Densità di Stati per Bosoni Liberi
Per particelle libere in 3D con relazione di dispersione , la densità di stati è:
che si può riscrivere usando la lunghezza d'onda termica :
Calcolo del Numero Totale di Particelle
Separazione Stato Fondamentale - Stati Eccitati
Il numero totale di particelle è la somma su tutti gli stati. Poiché lo stato fondamentale () ha misura nulla nella densità di stati continua, dobbiamo trattarlo separatamente:
Decomposizione del Numero di Particelle
dove:
con la fugacità .
Calcolo dell'Integrale
L'integrale per può essere scritto in forma adimensionale con :
dove abbiamo introdotto la funzione di Bose (o polilogaritmo):
Funzioni di Bose
Valori importanti per (funzione zeta di Riemann):
Derivazione della Temperatura Critica
Il Problema della Saturazione
La funzione è monotona crescente per , ma ha un massimo finito per :
Poiché , abbiamo . Abbassando la temperatura, arriva un punto in cui gli stati eccitati non possono più contenere tutte le particelle!
Calcolo Esplicito di T_c
La temperatura critica è definita dalla condizione:
Risolvendo per :
Temperatura Critica BEC
Forma equivalente in termini della lunghezza d'onda termica:
La condensazione avviene quando la distanza interparticellare diventa comparabile con la lunghezza d'onda termica .
Comportamento per T < T_c
Sotto , il potenziale chimico si fissa a (più precisamente: tale che resti finito). Le particelle in eccesso si accumulano nello stato fondamentale:
Frazione Condensata
A : tutte le particelle nel condensato ().
Grandezze Termodinamiche
Energia Interna
L'energia è portata solo dalle particelle eccitate (il condensato ha ):
Energia per T {'<'} T_c
Per ():
Numericamente:
Calore Specifico
Calore Specifico
Per :
Per : (limite classico).
Il calore specifico ha una cuspide (discontinuità nella derivata) a .
Pressione
La pressione dipende solo dalle particelle eccitate:
Per ():
Pressione Indipendente da V
Per , non dipende da ! L'isoterma è piatta: comprimendo il gas, le particelle passano dal condensato agli stati eccitati senza cambiare la pressione. Analogo alla coesistenza liquido-gas.
Ordine della Transizione
La transizione BEC è continua (non c'è calore latente), ma la derivata terza dell'energia libera è discontinua. È classificata come transizione del terzo ordinenella classificazione di Ehrenfest (o transizione continua moderna).
Dipendenza dalla Dimensionalità
BEC Solo in 3D (Bosoni Liberi)
In dimensione , la densità di stati va come . L'integrale converge solo se .
- : → no BEC
- : → BEC possibile
Con potenziali di trapping o interazioni, BEC è possibile anche in 2D.
Realizzazioni Sperimentali
- Elio-4 superfluido: transizione lambda a K. Le interazioni sono forti, ma BEC fornisce il meccanismo qualitativo.
- Gas atomici ultrafreddi (1995, Cornell, Wieman, Ketterle - Nobel 2001): BEC in , a nK.
- Polaritoni eccitoni: condensazione in semiconduttori a temperature più alte.
Riepilogo
Punti Chiave
- Condizione BEC:
- Temperatura critica:
- Frazione condensata:
- Energia: per
- Calore specifico: cuspide a ,
- Dimensionalità: BEC solo per (bosoni liberi)