Gas di Fermi
Derivazione rigorosa delle proprietà a T = 0 e dell'espansione di Sommerfeld
Distribuzione di Fermi-Dirac
Per fermioni non interagenti, il numero medio di occupazione di uno stato con energia è:
dove è il potenziale chimico (energia di Fermi a ).
Gas di Fermi a T = 0
Limite della Distribuzione
A temperatura zero (), la distribuzione diventa una funzione a gradino:
Tutti gli stati con sono occupati, tutti quelli con sono vuoti.
Calcolo dell'Energia di Fermi
Per fermioni liberi in 3D (spin 1/2), la densità di stati per unità di volume è:
Il fattore 2 per lo spin è già incluso. A , la densità di particelle è:
Risolvendo per :
Energia di Fermi
Grandezze correlate:
Energia Totale a T = 0
Usando la relazione :
Energia del Gas di Fermi a T = 0
L'energia media per particella è , non , perché la densità di stati cresce con .
Pressione di Degenerazione
Usando per un gas non relativistico:
Pressione a T = 0
A differenza del gas classico, il gas di Fermi ha pressione finita anche a T = 0! Questa pressione di degenerazione è puramente quantistica, conseguenza del principio di esclusione di Pauli.
Espansione di Sommerfeld
Per , vogliamo calcolare integrali della forma:
dove è la distribuzione di Fermi-Dirac e una funzione regolare.
Derivazione della Formula
Definiamo . Integrando per parti:
La derivata è fortemente piccata intorno a con larghezza . Espandiamo in serie di Taylor intorno a :
Gli integrali dei momenti di sono:
Formula di Sommerfeld
Il primo termine è il contributo a , il secondo è la correzione termica di ordine .
Applicazione: Potenziale Chimico μ(T)
Per il numero di particelle, :
Poiché (a ), e usando :
Uguagliando i due sviluppi e usando :
Potenziale Chimico a Basse Temperature
Il potenziale chimico diminuisce con la temperatura.
Applicazione: Energia E(T)
Per l'energia, :
Sviluppando e usando le relazioni precedenti:
Energia a Basse Temperature
Equivalentemente:
Calore Specifico
Usando :
Calore Specifico del Gas di Fermi
con il coefficiente di Sommerfeld:
Interpretazione Fisica
Il calore specifico è lineare in T, molto minore del valore classico. Solo una frazione degli elettroni (quelli entro dalla superficie di Fermi) può essere eccitata termicamente.
Applicazioni Fisiche
Elettroni nei Metalli
Per il rame: m⁻³.
A temperatura ambiente ( K): . Il gas di elettroni è fortemente degenerato.
Nane Bianche
Stelle con massa (limite di Chandrasekhar) sono supportate dalla pressione di degenerazione elettronica. La densità tipica è kg/m³.
Limite di Chandrasekhar
dove è il peso molecolare per elettrone e.
Stelle di Neutroni
Per masse maggiori, la pressione di degenerazione elettronica non basta. I protoni catturano elettroni (p + e → n + ν). La stella collassa fino a che la pressione di degenerazione deineutroni la stabilizza. Densità: kg/m³.
Riepilogo
Punti Chiave
- T = 0: distribuzione a gradino,
- Energia:
- Pressione di degenerazione:
- Sommerfeld:
- μ(T):
- Calore specifico: con