Solidi: Modello di Einstein e Debye
Fononi come bosoni con μ = 0, D(ω) ∝ ω², C_V ∝ T³ per T ≪ θ_D
Il Problema del Calore Specifico
La legge classica di Dulong-Petit prevede per un solido monoatomico. Questo è corretto ad alte temperature, ma a basse temperature .
Modello di Einstein
Einstein (1907) modellò gli atomi come oscillatori armonici indipendenti con la stessa frequenza:
Questo dà a basse temperature, che decade troppo rapidamente rispetto all'esperimento.
Modello di Debye
Debye (1912) considerò i modi collettivi di vibrazione (fononi) con una relazione di dispersione lineare fino a una frequenza di cutoff .
Densità di Stati di Debye
La frequenza di cutoff è scelta in modo che.
Energia e Calore Specifico
L'energia totale è:
dove , e è la temperatura di Debye.
Limiti
Alta Temperatura (T ≫ Θ_D)
Per :
Limite Classico
Si recupera la legge di Dulong-Petit.
Bassa Temperatura (T ≪ Θ_D)
Per , l'integrale converge a :
Legge di Debye (T³)
Il calore specifico va come , in ottimo accordo con l'esperimento!
Temperature di Debye Tipiche
- Piombo: K
- Alluminio: K
- Diamante: K
Perché T³?
A basse temperature, solo i fononi con sono eccitati. In 3D, questi modi crescono come , dando un contributo all'energia proporzionale a e quindi .
Riepilogo
Punti Chiave
- Fononi: bosoni con
- Densità di stati di Debye:
- Alta T: (Dulong-Petit)
- Bassa T:
- Temperatura di Debye: scala caratteristica
- Molto migliore del modello di Einstein