Derivazione del Canonico dal Microcanonico (Versione Energia)
Costruzione diretta di P(ε) del sistema via marginalizzazione
Contesto e Motivazione
Nella derivazione "standard" del canonico dal microcanonico (domanda δ5), si parte dalla distribuzione sul microstato e si marginalizza sul bagno. Qui seguiamo una strada diversa: costruiamo direttamente la distribuzione dell'energia del sistema, senza passare per .
Questo approccio è più "termodinamico" e mette in evidenza il ruolo della densità degli stati del sistema.
Setup
Consideriamo un universo isolato (sistema S + bagno B) con energia totale fissata. L'universo è microcanonico. Il sistema ha energia e il bagno ha energia .
Derivazione
Passo 1. Per il postulato di equiprobabilità, il numero di microstati dell'universo con il sistema a energia è il prodotto delle densità degli stati:
Questo è un semplice conteggio combinatorio: per ogni microstato del sistema a energia , ci sono microstati del bagno compatibili col vincolo totale.
Passo 2. Espansione sul bagno. Il bagno è grande, quindi . Scriviamo ed espandiamo l'entropia del bagno:
dove abbiamo usato (definizione di temperatura del bagno). Il troncamento al primo ordine è giustificato dal fatto che il bagno è molto più grande del sistema.
Passo 3. Sostituendo:
Distribuzione Energetica Canonica (dalla Marginalizzazione)
Questa è esattamente la distribuzione energetica canonica. Il fattore di Boltzmann emerge dall'espansione dell'entropia del bagno, mentre codifica il peso combinatorio del sistema.
Confronto con la Versione Standard
Due Strade, Stesso Risultato
Le due derivazioni sono complementari:
- Domanda δ5 (versione microstato): marginalizza sul bagno → ottiene → poi marginalizza su per ottenere
- Questa domanda (versione energia): costruisce direttamente contando il numero di microstati a ogni energia
La versione energia è più diretta e mostra chiaramente perché appare nella distribuzione energetica.
Normalizzazione e Partizione
Normalizzando:
Questa forma integrale di è equivalente a : il passaggio è esattamente l'inserzione di un .
Energia Interna
Riepilogo
Punti Chiave
- Universo microcanonico:
- Espansione del bagno:
- Risultato:
- Questa è la distribuzione canonica dell'energia, ottenuta direttamente