Ensemble Canonico
Sistema in equilibrio termico con un bagno a temperatura fissata
Scenario Fisico
L'ensemble canonico descrive un sistema in contatto termico con un bagno termico (reservoir) a temperatura . A differenza del microcanonico, l'energia del sistema può fluttuare, ma la temperatura è fissata.
Consideriamo un sistema piccolo immerso in un bagno molto grande. L'energia totale è conservata.
Derivazione della Distribuzione
La probabilità che il sistema si trovi in un microstato con energia è proporzionale al numero di microstati accessibili al bagno:
Usando e sviluppando per :
dove abbiamo usato .
Distribuzione di Boltzmann
Funzione di Partizione
Funzione di Partizione Canonica
La costante di normalizzazione è chiamata funzione di partizione:
La somma è su tutti i microstati (discreti nel caso quantistico, integrale nel caso classico).
Proprietà della Funzione di Partizione
La funzione di partizione contiene tutta l'informazione termodinamica del sistema.
Energia Media
Fluttuazioni dell'Energia
Energia Libera di Helmholtz
Energia Libera
L'energia libera di Helmholtz è definita come:
oppure equivalentemente:
L'energia libera è il potenziale termodinamico naturale per l'ensemble canonico, così come l'entropia lo è per il microcanonico.
Derivazione delle Grandezze Termodinamiche
Dal differenziale :
Esempio: Gas Ideale
Per particelle non interagenti:
dove è la lunghezza d'onda termica di de Broglie.
L'energia libera diventa:
Da cui si ricava l'equazione di stato .
Fattorizzazione
Sistemi Indipendenti
Se un sistema è composto da sottosistemi indipendenti (non interagenti), la funzione di partizione totale è il prodotto delle singole:
Questa proprietà semplifica enormemente i calcoli per sistemi di particelle non interagenti.
Riepilogo
Punti Chiave
- L'ensemble canonico descrive sistemi a fissata
- La probabilità di un microstato è
- La funzione di partizione normalizza le probabilità
- L'energia libera è il potenziale termodinamico naturale
- Le fluttuazioni di energia sono legate al calore specifico