Entropia nel Canonico
Derivazione dell'entropia dalla distribuzione di probabilità P(x)
Contesto e Motivazione
Nell'ensemble canonico conosciamo la distribuzione di probabilità sul microstato. L'obiettivo è ricavare l'entropia direttamente da questa distribuzione, senza "ricette magiche": sostituiamo nella definizione di entropia di Gibbs e otteniamo una formula che collega a e .
Formalismi
L'entropia di Gibbs è definita come:
Entropia di Gibbs
dove è la misura adimensionale sullo spazio delle fasi.
Il punto di partenza è la distribuzione canonica:
Derivazione
Passo 1. Calcoliamo il logaritmo della distribuzione:
Questa è la chiave: il logaritmo di si separa naturalmente in un termine proporzionale all'energia del microstato e una costante (la partizione).
Passo 2. Sostituiamo nell'entropia di Gibbs:
Passo 3. Separiamo i due contributi:
Il primo integrale è la definizione di energia interna . Il secondo integrale è la normalizzazione .
Passo 4. Raccogliendo:
Entropia nel Canonico
Questa è la forma più "pulita" dell'entropia canonica, perché nasce direttamente dal formalismo probabilistico senza assunzioni aggiuntive.
Connessione con l'Energia Libera
Ricordando che l'energia libera di Helmholtz è , possiamo riscrivere:
che è esattamente la relazione termodinamica , riottenuta qui come conseguenza della distribuzione canonica e della definizione di entropia di Gibbs. Questo conferma la coerenza interna del formalismo.
Interpretazione Fisica
Due Contributi all'Entropia
La formula ha due termini con significati distinti:
- : contributo "energetico", legato all'energia media scambiata col bagno termico
- : contributo "combinatorio", legato al numero effettivo di microstati accessibili a temperatura
A basse temperature, il sistema esplora pochi stati e l'entropia è piccola. A alte temperature, molti stati sono accessibili e l'entropia cresce.
Riepilogo
Punti Chiave
- Si parte da
- Si calcola
- Si sostituisce in
- Si ottiene
- Equivalente a