Fluttuazioni dell'Energia nel Canonico e Limite Termodinamico
Perché canonico e microcanonico coincidono per N grande
Contesto Fisico
Nel canonico l'energia non è fissata: il sistema scambia energia con il bagno termico e l'energia del microstato fluttua attorno al valore medio . La domanda cruciale è: quanto sono grandi queste fluttuazioni? Se sono piccole rispetto a , allora l'energia è "quasi fissata" e il canonico è equivalente al microcanonico.
Formalismi
La funzione di partizione agisce come funzione generatrice dei cumulanti di . Le derivate di rispetto a producono i momenti connessi.
Derivazione
Energia media (primo cumulante):
Varianza (secondo cumulante):
Per collegare la varianza a una quantità termodinamica, notiamo che:
Poiché , si ha , e quindi:
Relazione Fluttuazione-Dissipazione per l'Energia
dove è il calore specifico a volume costante. Le fluttuazioni dell'energia sono legate alla risposta termica del sistema.
Limite Termodinamico
Per un sistema macroscopico, l'energia e il calore specifico sono grandezze estensive:
Quindi la deviazione standard dell'energia scala come:
La fluttuazione relativa è:
Fluttuazioni Relative nel Limite Termodinamico
Per , le fluttuazioni diventano trascurabili rispetto all'energia media. La distribuzione è sempre più "piccata" attorno a .
Conseguenza: Equivalenza degli Ensemble
Poiché è estremamente piccata nel limite termodinamico, il sistema canonico si comporta come se l'energia fosse fissata al valore . Questo significa che:
- Le medie calcolate nel canonico coincidono con quelle del microcanonico a energia
- Le grandezze termodinamiche (entropia, pressione, potenziale chimico) sono le stesse nei due ensemble
- La differenza è solo nei termini subdominanti di ordine
Forma della Distribuzione Energetica
Ricordiamo che nel canonico:
Il fattore cresce rapidamente con (più stati a energia alta), mentre decresce (peso di Boltzmann). Il prodotto ha un massimo netto in che definisce l'energia più probabile, e la larghezza del picco scala come .
Riepilogo
Punti Chiave
- ,
- Fluttuazione relativa
- diventa piccata: canonico ≡ microcanonico per