Oscillatori Armonici in Meccanica Statistica
Trattazione classica e quantistica del sistema fondamentale
Oscillatore Armonico Classico
L'oscillatore armonico unidimensionale ha Hamiltoniana:
dove è la frequenza angolare.
Funzione di Partizione Classica
La funzione di partizione canonica è:
Separando i termini cinetico e potenziale:
Usando l'integrale gaussiano :
Funzione di Partizione Classica
Energia Media Classica
Teorema di Equipartizione
Ogni termine quadratico nell'Hamiltoniana contribuisce all'energia media. L'oscillatore ha due termini quadratici (cinetico e potenziale):
Oscillatore Armonico Quantistico
In meccanica quantistica, i livelli energetici sono discreti:
Livelli Energetici
L'energia di punto zero è una conseguenza del principio di indeterminazione.
Funzione di Partizione Quantistica
Fattorizzando l'energia di punto zero:
Funzione di Partizione Quantistica
Energia Media Quantistica
Energia Media dell'Oscillatore Quantistico
dove è il numero medio di eccitazioni (distribuzione di Bose-Einstein con ).
Analisi dei Limiti
Alta Temperatura (Limite Classico)
Per , cioè :
Si recupera il risultato classico dell'equipartizione.
Bassa Temperatura (Regime Quantistico)
Per , cioè :
Congelamento dei Gradi di Libertà
A basse temperature, l'oscillatore è "congelato" nel suo stato fondamentale. Le eccitazioni termiche sono soppresse esponenzialmente. Solo l'energia di punto zero rimane, ma questa non contribuisce al calore specifico.
Calore Specifico
Definendo la temperatura caratteristica :
Calore Specifico dell'Oscillatore
- : (classico)
- :
Sistema di N Oscillatori Indipendenti
Per oscillatori indipendenti (distinguibili):
Applicazioni
Modello di Einstein per i Solidi
Un solido di atomi ha modi normali di vibrazione. Nel modello di Einstein, tutti hanno la stessa frequenza :
Limitazioni del Modello di Einstein
Il modello di Einstein prevede a basse temperature, ma sperimentalmente si osserva . Il modello di Debye, con una distribuzione di frequenze, corregge questo problema.
Molecole Biatomiche
La vibrazione di una molecola biatomica è un oscillatore armonico. A temperatura ambiente, se , i modi vibrazionali sono "congelati" e non contribuiscono al calore specifico.
Per : K
Per : K
Per : K
Entropia
L'entropia dell'oscillatore quantistico è:
Limiti:
- : (terzo principio)
- :
Energia Libera
Il primo termine è l'energia di punto zero, il secondo contiene la dipendenza dalla temperatura.
Riepilogo
Punti Chiave
- Livelli:
- Partizione:
- Energia:
- (Bose-Einstein)
- Alta T: (equipartizione)
- Bassa T: (punto zero)
- per