Postulato di Eguale Probabilità a Priori
Distribuzione microcanonica e media di osservabili
Contesto Fisico
Il punto di partenza della meccanica statistica è il postulato di eguale probabilità a priori: per un sistema isolato con energia fissata , tutti i microstati compatibili con quel vincolo sono equiprobabili. Questo è il fondamento logico dell'ensemble microcanonico e l'unica assunzione non dimostrabile della teoria.
Il microstato classico è un punto nello spazio delle fasi a dimensioni. La misura naturale su questo spazio è:
dove il fattore rende la misura adimensionale e corrisponde alla risoluzione minima imposta dal principio di indeterminazione.
Distribuzione Microcanonica
Il vincolo "energia fissata" si esprime matematicamente tramite la delta di Dirac. La distribuzione di probabilità sul microstato è:
Distribuzione Microcanonica
dove è l'Hamiltoniana del sistema e
è la densità degli stati (normalizzazione).
La "seleziona" esattamente la superficie a energia costante nello spazio delle fasi: solo i microstati che giacciono su tale superficie hanno probabilità non nulla, e su di essa la distribuzione è uniforme rispetto alla misura .
Media di Osservabili
Per qualunque osservabile (funzione del microstato), il valore medio nell'ensemble microcanonico è:
Valore Medio Microcanonico
Questo integrale ha un significato geometrico preciso: è la media di sulla superficie , pesata uniformemente. In pratica, stiamo "campionando" tutti i microstati con la stessa energia e calcolando la media dell'osservabile.
Marginalizzazione: dal Microstato all'Energia
Un concetto fondamentale è il passaggio dalla distribuzione sul microstato alla distribuzione sull'energia , ottenuta per marginalizzazione:
Nel caso microcanonico, sostituendo :
Distribuzione dell'Energia nel Microcanonico
Risultato banale ma importante: nel microcanonico l'energia è fissata al valore , senza fluttuazioni. La distribuzione è una delta centrata in .
Collegamento con i Sottosistemi
La marginalizzazione diventa cruciale quando si considera un sottosistema di un sistema isolato più grande. Se l'universo (sistema + bagno) è microcanonico, la distribuzione dell'energia del sottosistema non è più una delta, ma assume la forma canonica. Questo è il meccanismo che genera l'ensemble canonico a partire dal microcanonico (vedi domande sulla derivazione del canonico).
Giustificazioni del Postulato
Perché l'Equiprobabilità?
Il postulato non è dimostrabile dai primi principi della meccanica, ma è supportato da:
- Teorema di Liouville: il flusso hamiltoniano preserva il volume nello spazio delle fasi, quindi una distribuzione uniforme resta uniforme nel tempo
- Ipotesi ergodica: per sistemi ergodici, le medie temporali coincidono con le medie sull'ensemble
- Successo empirico: le previsioni che ne derivano concordano con gli esperimenti
- Principio di massima entropia: la distribuzione uniforme massimizza l'entropia di Gibbs sotto il vincolo di energia fissata
Identità Utili con δ e Θ
Per completezza, riportiamo le identità fondamentali usate in queste derivazioni:
dove è la funzione gradino di Heaviside. La prima relazione collega il volume integrato alla densità degli stati :
Riepilogo
Punti Chiave
- Postulato: tutti i microstati a energia fissata sono equiprobabili
- Distribuzione:
- Media:
- Marginalizzazione sull'energia:
- Il postulato è giustificato da Liouville, ergodicità e massima entropia